Media proporcional

La media proporcional o media geométrica es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica contuinua, es decir, cada uno de los términos medios de una proporción cuando son iguales. Así, en la proporción 8:4::4:2 la media proporcional es 4. Si desea la fórmula para obtenerla, la media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos, Por ejemplo en 9:6::6:4 tenemos que 6= a la raíz cuadrada de los extremos 9 por 4. Si el ejemplo fuera así 9:x:x:4, entonces x2=a la raíz cuadrada de 9x4 = a raíz cuadrada de 36 = 6. 0bserva que que la media x es el término desconocido, usando la propiedad fundamental de la proporciones: el producto de los extremos es igual al producto de los medios

Teorema del cateto

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. Como consecuencia tenemos las siguientes fórmulas:

b2 = m·a

c2 = n·a

siendo a = m + n  y  m la proyección del cateto b sobre la hipotenusa y n la del cateto c, tal y como se puede observar en el triángulo anterior. La media proporcional (o geométrica) de dos números es la raíz cuadrada de su producto. Esto nos indica que; si extraemos la raíz cuadrada a cada término de las dos expresiones, tenemos que los catetos son la media proporcional de sus proyecciones y la hipotenusa.

Estas fórmulas nos permiten calcular los catetos, conocidas sus proyecciones o bien calcular un cateto conocida su proyección y la hipotenusa.

Teorema de la altura

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual al producto de las proyecciones de sus catetos sobre la hipotenusa.

Es decir que h2 = m·n

Este teorema nos permite calcular la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conocemos las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

También nos dice que la altura es la media proporcional (o geométrica) de las proyecciones.

Teorema sobre la hipotenusa y la altura

En todo triángulo rectángulo el producto de la hipotenusa por la altura es igual al producto de los dos catetos.

Podemos expresarlo mediante la fórmula a·h = b·c y nos permitirá calcular la altura de un triángulo rectángulo en función de la hipotenusa y sus catetos.

Si dividimos ambos miembros de la fórmula anterior por 2, puedes observar que cada miembro representa el área del triángulo rectángulo.

EJEMPLOS

Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 m y 8 m ¿cuánto mide la altura sobre la hipotenusa?

R= 4 metros

Aplicando el teorema de la altura h2 = 2·8=16, por tanto h = 4 m

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 m y la proyección de uno de sus catetos mide 4 m ¿cuánto mide dicho cateto?

R=10m

Aplicando el teorema del cateto b2=4·20=100, por tanto extrayendo la raíz cuadrada tenemos que b=10 m.