Media proporcional

La media proporcional o media geométrica es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica contuinua, es decir, cada uno de los términos medios de una proporción cuando son iguales. Así, en la proporción 8:4::4:2 la media proporcional es 4. Si desea la fórmula para obtenerla, la media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos, Por ejemplo en 9:6::6:4 tenemos que 6= a la raíz cuadrada de los extremos 9 por 4. Si el ejemplo fuera así 9:x:x:4, entonces x2=a la raíz cuadrada de 9x4 = a raíz cuadrada de 36 = 6. 0bserva que que la media x es el término desconocido, usando la propiedad fundamental de la proporciones: el producto de los extremos es igual al producto de los medios

Teorema del cateto

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. Como consecuencia tenemos las siguientes fórmulas:

b2 = m·a

c2 = n·a

siendo a = m + n  y  m la proyección del cateto b sobre la hipotenusa y n la del cateto c, tal y como se puede observar en el triángulo anterior. La media proporcional (o geométrica) de dos números es la raíz cuadrada de su producto. Esto nos indica que; si extraemos la raíz cuadrada a cada término de las dos expresiones, tenemos que los catetos son la media proporcional de sus proyecciones y la hipotenusa.

Estas fórmulas nos permiten calcular los catetos, conocidas sus proyecciones o bien calcular un cateto conocida su proyección y la hipotenusa.

Teorema de la altura

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual al producto de las proyecciones de sus catetos sobre la hipotenusa.

Es decir que h2 = m·n

Este teorema nos permite calcular la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conocemos las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

También nos dice que la altura es la media proporcional (o geométrica) de las proyecciones.

Teorema sobre la hipotenusa y la altura

En todo triángulo rectángulo el producto de la hipotenusa por la altura es igual al producto de los dos catetos.

Podemos expresarlo mediante la fórmula a·h = b·c y nos permitirá calcular la altura de un triángulo rectángulo en función de la hipotenusa y sus catetos.

Si dividimos ambos miembros de la fórmula anterior por 2, puedes observar que cada miembro representa el área del triángulo rectángulo.

EJEMPLOS

Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 m y 8 m ¿cuánto mide la altura sobre la hipotenusa?

R= 4 metros

Aplicando el teorema de la altura h2 = 2·8=16, por tanto h = 4 m

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 m y la proyección de uno de sus catetos mide 4 m ¿cuánto mide dicho cateto?

R=10m

Aplicando el teorema del cateto b2=4·20=100, por tanto extrayendo la raíz cuadrada tenemos que b=10 m.

Angulos en la circunferencia

Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.		La medida del arco AB es la del ángulo central AOB. Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Ángulo AOB Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden definirse en la circunferencia.
Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en  la circunferencia. El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite.		El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.
Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo.		La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto.
Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma.		La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.

Ejercicios

Si dividimos la circunferencia en partes iguales y el ángulo central de cada una de las partes es de 36º, ¿en cuántas partes se ha dividido la circunferencia?

Sabemos que la circunferencia completa son 360º, por tanto dividiendo 360º entre 36º obtenemos las partes en las que se ha dividido la circunferencia, 360/36= 10 partes iguales

Un ángulo interior mide 60° y uno de los arcos que determina es de 40°, entonces el otro arco mide...

80°

Los lados y las prolongaciones de un ángulo interior forman un arco de 130° y otro de 60°, entonces dicho ángulo mide...

95°

LUGARES GEOMÉTRICOS. LA CIRCUNFERENCIA

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.

• Una vez descrita la propiedad, se puede optar por:

 1) representarla;

 2) encontrar su expresión matemática.

Ejemplos:

a) El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos A(1, −1) y B(2, 0).

b) El lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto A(2, 3) es doble que la

distancia a la recta x – y + 2 = 0.

c) La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos

del plano que equidistan de los extremos A y B. Esto es, si P es un punto

de la mediatriz verificará d(P, A) = d(P, B). (Como sabes, la mediatriz es

la recta perpendicular al segmento por su punto medio.)

d) La bisectriz del ángulo determinado por dos rectas es el lugar

geométrico de los puntos del plano que equidistan de dichas rectas. Esto es,

si P es un punto de la bisectriz verificará d(P, r) = d(P, s). (Como sabes, la

bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice divide al ángulo

en dos partes iguales.)

La Circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos del plano que

equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a un

punto de la circunferencia se llama radio.

La ecuación de la circunferencia con centro en C(a, b) y radio r, es

(x − a)

2

+ ( y − b)

2

= r ⇔ 2 2 2

(x − a) + ( y − b) = r

La Circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a un punto de la circunferencia se llama radio.

La ecuación de la circunferencia con centro en C(a, b) y radio r, es

(x − a)

2

+ ( y − b)

2

= r ⇔ 2 2 2

(x − a) + ( y − b) = r

Ejemplos:

a) La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 3 es: 9

2 2

x + y =

b) La ecuación de la circunferencia con centro en C(−2, 1) y r = 4 es: 2 2 2

(x + )2 + ( y − )1 = 4

• La expresión 0

2 2

x + y + mx + ny + p = (*) es la ecuación general de una circunferencia. Su

centro y radio pueden deducirse completando cuadrados.

Ejemplo: La ecuación 6 8 0

2 2

x + y − x + y = ⇔ 2 2 2

(x − )3 + ( y + )4 = 5

            Poligonos

En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado área. El polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para cualquier número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se denomina polícoro.

Según las propiedades que cumpla el contorno

del polígono, es posible realizar las 

siguientes clasificaciones.

                          

Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Equivalentemente, su frontera tiene un solo contorno.

Complejo o Cruzado, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.

Convexo, si todo segmento que une dos puntos cualesquiera del contorno del polígono yace en el interior de este. Todo polígono simple y con todos sus ángulos internos menores que 180º es convexo.

No convexo, si existe un segmento entre dos puntos de la frontera del polígono que sale al exterior del mismo. O si existe una recta capaz de cortar el polígono en más de dos puntos.

Cóncavo, si es un polígono simple y no convexo.

Equilátero, si tiene todos sus lados de la misma longitud.

Equiángulo, si tiene todos sus ángulos interiores iguales.

Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.

Irregular, si no es regular. Es decir, si no es equilátero o equiángulo.

Cíclico, si existe una circunferencia que pasa por todos los vértices del polígono. Todos los polígonos regulares son cíclicos.

Ortogonal o Isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos x o y.9

Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.

Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.

Reticular es simple y, al representarlo en un reticulado, cada vértice yace exactamente en un vértice de cuadrado unitario del reticulado (en este caso funciona la fórmula de Pick).7

Según el número de lados:

Triángulo tiene 3 lados

Cuadrilátero, tiene 4 lados

Pentágono, tiene 5 lados

y así sucesivamente, hexágono, heptágono, octógono, etc...

Según la igualdad de lados y ángulos:

Polígono equilátero que tiene sus lados iguales.

Polígono equiángulo en el que sus ángulos son iguales.

Polígono regular que tiene sus lados y ángulos iguales.

Teorema de angulos en los poligonos con ejemplos 

✿ Teorema No. 1. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180° (n-2), donde “n” es el lado, o mejor, el número de lados del polígono. 


EJEMPLO: 
• Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular. 
Suma de ángulos interiores = 180(n-2) 
Suma de ángulos interiores = 180(5-2) 
Suma de ángulos interiores = 180(3) 
Suma de ángulos interiores = 540°. 


✿ Teorema No. 2. Si se quiere calcular el ángulo interior de algún polígono, éste debe ser regular, el valor de cada uno de sus ángulos es el mismo y es igual a la división de la suma de los ángulos interiores entre “n”. 
Ángulo interior = 180(n-2) 
n 

EJEMPLO: 
• Calcular el ángulo interior de un pentadecágono (15 lados) regular. 

Ángulo interior = 180(n-2) = 180(15-2) = 180(13) = 2340 = 156° 
n 15 15 15 


✿ Teorema No. 3. La suma de los ángulos exteriores de un polígono es de 360°. 

Ángulo exterior = 360° 
n 

EJEMPLO: 
• Calcular el ángulo exterior de un triángulo. 

Ángulo exterior = 360° = 360° = 120° 
n 3 




✿ Teorema No. 4. El número de diagonales que pueden trazarse desde los vértices de un polígono es igual al producto de n(n-3) y todo ello dividido entre 2. 

# de / = n(n-3) 
2 

EJEMPLO: 
• Calcular el número de diagonales de un pentágono regular. 

# de / = n(n-3) = 5(5-3) = 5(2)= 10 = 5 diagonales. 
2 2 2 2